三个控制点如何生成一条二次曲线：九次二级插值的曲线采样·案例18

想让镜头或标记沿一条平滑弯线移动，可以先在两个相邻控制点之间取位置，再在这两个中间位置之间取位置。中间控制点影响弯曲方向，却通常不是曲线必经的位置。

以下是一组可按记录复查的虚构游戏例子。它先固定输入、单位和执行顺序，再展示每一步结果。读者可以用纸笔挑出几步核对，不需要依赖具体游戏的后台数据。

明确规则与输入

三个二维控制点依次为起点、控制点、终点。参数从零到一，先按参数在前两点和后两点分别线性插值，再在所得两点之间按同一参数插值。九个参数等间隔，结果使用精确分数。

起点、控制点、终点依次[[1, -6], [2, 8], [-2, -4]]

完整计算过程

参数0：前两点中间位置['1', '-6']，后两点中间位置['2', '8']，再次插值得曲线位置['1', '-6']。原三点权重['1', '0', '0']。

参数1/8：前两点中间位置['9/8', '-17/4']，后两点中间位置['3/2', '13/2']，再次插值得曲线位置['75/64', '-93/32']。原三点权重['49/64', '7/32', '1/64']。

参数1/4：前两点中间位置['5/4', '-5/2']，后两点中间位置['1', '5']，再次插值得曲线位置['19/16', '-5/8']。原三点权重['9/16', '3/8', '1/16']。

参数3/8：前两点中间位置['11/8', '-3/4']，后两点中间位置['1/2', '7/2']，再次插值得曲线位置['67/64', '27/32']。原三点权重['25/64', '15/32', '9/64']。

参数1/2：前两点中间位置['3/2', '1']，后两点中间位置['0', '2']，再次插值得曲线位置['3/4', '3/2']。原三点权重['1/4', '1/2', '1/4']。

参数5/8：前两点中间位置['13/8', '11/4']，后两点中间位置['-1/2', '1/2']，再次插值得曲线位置['19/64', '43/32']。原三点权重['9/64', '15/32', '25/64']。

参数3/4：前两点中间位置['7/4', '9/2']，后两点中间位置['-1', '-1']，再次插值得曲线位置['-5/16', '3/8']。原三点权重['1/16', '3/8', '9/16']。

参数7/8：前两点中间位置['15/8', '25/4']，后两点中间位置['-3/2', '-5/2']，再次插值得曲线位置['-69/64', '-45/32']。原三点权重['1/64', '7/32', '49/64']。

参数1：前两点中间位置['2', '8']，后两点中间位置['-2', '-4']，再次插值得曲线位置['-2', '-4']。原三点权重['0', '0', '1']。

九个样本从[1, -6]到[-2, -4]，控制点[2, 8]用于改变形状，不被强制列作中间必经点。

独立核对与边界

展开两次插值，三个原始点的权重分别为（一减参数）整体的平方、二乘参数乘一减参数、参数的平方。权重和为一，端点参数应准确回到起点和终点；逐轴比较两种算法。

参数等间隔不等于沿弧长等距离，因此用匀速推进参数未必产生恒定移动速度。这里不计算弧长或碰撞，也不直接承诺任何游戏相机的运动手感。控制点位置和实际采样点要分开看。

练习时只改变一个条件，先判断哪些中间步骤应当受影响，再重新计算。要把空状态、数值零和未能确定的结果分开。边界约定不同可能产生不同答案，复查的目标是确认输入、过程与规则一致，而不是只追求最后一个数字看起来相同。